Teano de Crotona

Téano, nacida en Crotona, Italia en el siglo VI a. C., fue una matemática, filósofa griega, esposa de Pitágoras y miembro de la escuela pitagórica. Hija de Milón, mecenas de Pitágoras. Se le atribuye haber escrito tratados de matemáticas, física y medicina, y también sobre la proporción áurea. La mayor parte de los textos de Teano, resultaban más interesantes a los religiosos que los han conservado, hablaban de problemas morales o prácticos. A Téano se le atribuye un tratado Sobre la Piedad del que se conserva un fragmento con una disquisición sobre el número. Además se le atribuyen los tratados sobre los poliedros rectangulares y sobre la teoría de la proporción, en particular sobre la proporción áurea.

GUIÓN DE RADIO

SINTONÍA
PRESENTACIÓN
-Ainoa: Buenos días , me llamo Ainoa soy alumna de cuarto de la ESO.
En el programa de hoy vamos ha imaginar que estamos en el futuro y que somos ciudadanos europeos trilingües. Conectaremos con el centro francés Lycée Internacional Montebello e intercambiaremos conceptos de matemáticas en español y en francés. Cada alumno se expresara en su idioma materno y no habrá ningún problema de comprensión.
Pero antes de ello , vamos ha corregir los errores del programa anterior.
CANCIÓN
-Pablo : Buenos días me llamo Pablo y también soy alumno de 4 de la ESO, como ya ha dicho mi compañera, contaremos los errores del programa anterior. Encontramos tres errores:
El primero, es cuando dijimos que un numero es divisible por 19 cuando separando la primera cifra de la derecha,multiplicándola por 17, restando este producto de lo que le queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 19. ¡Y esto es incorrecto!
Hay que multiplicar la primera cifra por 2, no por 17 y hay que sumar este producto de lo que le queda a la izquierda y así sucesivamente da 19.
Ainoa: ¡Muy bien! ¿Nos puedes contar el segundo?
Pablo: El segundo error que dijimos es que un numero es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras da lugar a numero impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras da lugar a numero par, de derecha a izquierda es cero o múltiplo de 11. ¡Y esto es incorrecto! expliquémoslo con un ejemplo:
Utilizaremos el 528 que se sumarían el 5 y el 8 y se restarían con el 2 que es el del medio y nos daría 11. ¿Puedes contarnos Ainoa el ultimo error?
Ainoa: Si, pues el ultimo error es que mi compañera Lorena dijo que los divisores encontrados hasta ahora eran 1,2,4,28 y 56, sin embargo, no menciona el 112.
Y ahora os dejamos con una canción para seguir con el programa de hoy.
CANCIÓN.

PARTE DEL GUIÓN DE MEREVA, NURIA Y FEMILI

-Pablo: Hola de nuevo, conectaremos con otra compañera francesa de Montebello
-Emonna: hola
-Pablo: estos últimos días nuestro profesor de matemáticas ha estado dándonos lo que es el número Fi, ¿tu sabes lo que es?
-Emonna: si por supuesto  hace poco tuvimos un examen y nos entró este temario.
-Pablo: y ¿donde lo podemos encontrar?
-Emonna: Fi es la diagonal de un pentágono regular de lado 1, vamos haber la demostración de ello
Pablo: vaya, muy bien, ¡qué nivel!
-Emonna: y¿ tu sabes lo que es una diagonal y un polígono?
-Pablo: mm  una diagonal es un segmento formado por dos vértices  no consecutivo y un polígono significa muchos ángulos, debido a que "poli" tiene como significado mucho y "gono" significa ángulos.
-Emonna: ¿sabes cuantas diagonales tienes cualquier polígono?
-Pablo: claro, un cuadrilátero por ejemplo solo tiene 2, un triangulo  en este no tiene diagonales, y un pentágono tiene 5 diagonales. Lo que estoy haciendo es agrupar vértices  a lo que no lleva al concepto de "agrupamiento".
-Emonna: está muy bien tu respuesta, pero y si fuera un polígono con muchas diagonales, ¿sabes alguna fórmula para no contar  las diagonal una por una de cualquier polígono?
-Pablo: la verdad es que no lo sé, ¿puedes contarme sobre el tema?
-Emonna: por supuesto, pero antes de llegar a la fórmula, tengo que explicar algunos pasos importantes, cuando queramos agrupar vértices debemos hacernos 2 preguntas esenciales :
      ¿Importa el orden?
      ¿Se puede repetir?
Son preguntas clave que nos debemos hacer en problemas de combinación y al hacernos estas preguntas nos salen unos tipos:
Cuando no importa el orden  es  lo que denominamos combinación.
Cuando no se pueden repetir es lo que denominamos sin repetición  pero en el caso de que se pueda repetir serán combinaciones con repetición a lo que denominamos variaciones.
-Por lo tanto ya tenemos la fórmula para averiguar las diagonales de cualquier polígono. En la fórmula N= número de diagonales, n= número de vértices, y C sub n y elevado a dos es el número de combinaciones sin repetición de número de elementos tomados de los otros.

pero para poder hacer esta fórmula hay que averiguar  lo que el Csub n elevado a la 2 y para ello hay una fórmula muy simple

Pero hay una fórmula general para cualquiera

Ejemplos :

-Pablo: madre mía pues he aprendido algo nuevo, ¡gracias!
-Emonna: de nada
-pablo: adiós
-Emonna: adiós
-pablo: acabamos de cortar la conexión con el instituto Montebello.
Ahora os dejamos  con una canción.
CANCIÓN

Algoritmo de Euclides

El algoritmo de Euclides es un método antiguo y eficiente para calcular el máximo común divisor (MCD). Fue originalmente descrito por Euclides en su obra Elementos. El algoritmo de Euclides extendido es una ligera modificación que permite además expresar al máximo común divisor como una combinación lineal. Este algoritmo tiene aplicaciones en diversas áreas como álgebra, teoría de números y ciencias de la computación, entre otras. Con unas ligeras modificaciones suele ser utilizado en computadoras electrónicas debido a su gran eficiencia.

Segmentos conmesurables

En matemática, la conmensurabilidad es la característica de dos númerosconmensurables. Dos números reales, (a y b) que no sean cero, son conmensurables sólo cuando la razón (a/b) es un número racional. Si la razón de a/b es irracional, entonces se dice que es inconmensurable.

ERRORES DEL GUIÓN DE RADIO

ERRORES DEL GUIÓN
Cuando  Lorena habla de los criterios de divisibilidad dice que
1°_ Un número es divisible por 19 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 17, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de19.
*hay que multiplicar la primera cifra por 2 no por 17, y sumando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da 19

2°_ y cuando dice:
Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11.
*corrección con un ejemplo:
528: se suman el 5 y el 8 y se resta con el 2 que es el del medio y nos da 11

3°_ En el minuto 6:41 Lorena dice que los divisores encontrados hasta ahora son 1, 2, 4, 28 y 56, sin embargo, no menciona el 112, que tambié lo es como ha demostrado Femili anteriormente.

Congruencias en Z módulo m

¿Qué son las congruencias en Z + Módulo M ?

Definición de congruencia

Dado m ∈ Z , m> 1, se dice que a, b ∈ Z son congruentes módulo msi y sólo si m|(a-b). Se denota esta relación como a ≡ b (mod m). mes el módulo de la congruencia.

Es importante darse cuenta de que si m divide a a-b, esto supone que ambos a y b tienen el mismo resto al ser divididos por el módulom.

Ejemplos: 23≡2 mod 7 (porque 23=3.7 + 2), y -6≡1 mod 7 (porque -6= -7.1 +1)

La relación de congruencia como equivalencia. El conjunto de residuos.

La relación de congruencia módulo m es una relación de equivalencia para todo m ∈ Z. Es decir, cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Como en toda relación de equivalencia, podemos definir el conjunto cociente de las clases de equivalencia originadas por la relación de congruencia. En este caso la relación clasifica a cualquier entero a según el resto obtenido al dividirlo por el módulo m.

Llamaremos Zm al conjunto cociente de Z respecto de la relación de congruencia módulo m. A la clase de equivalencia de un elemento a ∈Z se la denota por [a]m o simplemente [a].

Para todo a∈Z se tiene que [a] = [r] en Zm, donde r es el resto de dividir a entre m.Por lo tanto, el conjunto Zm es finito y tiene melementos: Zm = { [0]m, [1]m, ... , [m-1]m}, donde la clase [i]mrepresenta al conjunto de todos los enteros que son congruentes coni mod m. A este conjunto cociente se le conoce como el conjunto de restos o residuos (módulo m)

Ejemplo: siguiendo con el ejemplo anterior, está claro que en Z7, el número entero 9, el 16 y el 23 pertenecen todos a la clase [2], y que el entero -6, el 1 y el 8 pertenecen a la clase [1]

Compatibilidad de la relación de congruencia con la suma y el producto

Sean m ∈ N y a, b, c, d ∈ Z tales que a ≡ b (mod m) y c ≡ d (modm). Entonces se cumple que:

   i) a + c ≡ b + d (mod m)

   ii) a . c ≡ b . d (mod m)

Consecuentemente, el resto de la suma es congruente con la suma de restos, y el resto del producto es congruente con el producto de restos. Además podremos sumar y multiplicar clases de equivalencia (residuos) porque es indiferente el representante que se elija de cada clase a la hora de operar: el resultante de la operación siempre será un representante de la misma clase resultado. 

Guion de la radio

GUION DE LA RADIO

Presentadora: Mereva 
Concursantes: Emonna , Lorena , Femili y Pablo
Las técnicas: Ainoa , Nuria 

MEREVA: bienvenidos  al concurso matemático de jóvenes estudiantes , hoy este programa se transmitirá a través de la radio, ONDA PINAR  de I.E.S PINAR DE LA RUBIA  que concursarán los alumnos de 4 de ESO de matemáticas aplicadas y académicas y por supuesto también lo transmitiremos a través de la cadena de Castilla y  León a las 21:00 .
Antes de empezar nombraremos a nuestros cuarto concursantes que irán sentándose según  se les  nombre y estos son :
Lorena , Emonna , Femili y …. Pablo 
Bueno chicos ¿ bien? mm  y yo que me alegro
Os explico como va un poco esto , tenemos 2 grupos por una parte el grupo 1 formado por Lorena y Femili y el grupo dos formado por Pablo y Emonna , cada uno de ellos tendrá un botón rojo delante ,que pulsaran para poder  responder a la pregunta , quien le de antes tendrá la palabra , si acierta se les dará 1 punto a su equipo y si es incorrecta  el tiempo de respuesta pasara entonces al equipo contario, dicho esto comenzemos: 
El tema de las preguntas trataran sobre divisibilidad 
Primera pregunta: 
¿Qué es un múltiplo  de un número? dime un ejemplo.
El tiempo empieza ….
¡ya!
(SONIDO DEL PULSADOR ROJO PARA PODER RESPONDER)
¡Pablo!
Pablo: es el resultado de multiplicar ese número por otro cualquiera
ejemplos: 3·1= 3 osea que 3 es múltiplo de 3
3·2=6 pues 6 es múltiplo de 3
3·3=9 y 9 es múltilo de 3
MEREVA: correcto , un punto para el equipo dos ,sigamos 
la pregunta que viene ahora es bastante largo de contestar asI que mas vale que acertéis, la pregunta es ..: ¿como podemos hallar los divisores de 112 ?, el tempo empieza... ¡ya!
(SONIDO DEL PULSADOR ROJO PARA PODER RESPONDER)
¡femili! 

FEMILI:  
Por defecto, 1 y 112 dividen a 112, y por tanto son divisores de 112.Después de esto, probamos los números enteros en orden: 2, 3, 4, 5, 6, etc. si son divisores de 112 o no. Primero se nota que 112 es divisible por 2 ya que su última cifra es 2. (También es divisible por 4 ya que las dos últimas cifras conforman un numero, el 12, que es divisible por 4.)Entonces dividimos por 2 para hallar otro divisor: 112 ÷ 2 = 56. Este número también divide a 112: 112 ÷ 56 = 2. Entonces tenemos dos divisores más: 2 y 56.
Todos los otros divisores estáran entre 2 y 56. 
Vamos a ver  si el 3 es o no un divisor del 112. Sumando sus cifras obtenemos: 1 + 1 + 2 = 4. Como 4 no es divisible por 3, 112 tampoco lo será.
Ya dijimos que el 4 es un divisor del 112. por supuesto al realizar la división obtenemos: 112 ÷ 4 = 28; entonces 28 también es un divisor de 112. 
MEREVA: ya que es tan larga la respuesta , deja que  te ayude tu compañera Lorena LORENA: 
Hasta ahora encontramos los siguientes divisores 1, 2, 4, 28, y 56. Si hay otros, serán entre 4 y 28.
5 no sirve ya que 112 termina en 2.
6 no sirve ya que 112 no resultó divisible por 3.
7 si es un divisor: 112 ÷ 7 = 16. Entonces 7 y 16 son divisores.
8 si es un divisor: 112 ÷ 8 = 14. Entonces 8 y 14 son divisores - Los demás posibles divisores estarán entre 8 y 14.
9 no puede ser un divisor ya que 3 no fue un divisor.
10 no es un divisor ya que 112 no termina en cero.
11 no sirve. (2 - 1 + 2 = 2 y 2 no divide a 11). Y, si tratamos de dividir 112 por 11, la respuesta es un poco más de 10. Ya hemos probado 10. Entonces no necesitamos probar más números.

Entonces los divisores del 112 son: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56, y 112.

MEREVA: correcto, muy bien un punto para el equipo 1, seguimos, vamos a por la tercera pregunta: ¿qué son los números primos? ponerme 2 ejemplos 

(SONIDO DEL PULSADOR ROJO PARA PODER RESPONDER)

¡Emonna!

EMONNA: es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente divisores distintos que son: él mismo y el 1 , algunos ejemplos de números primos pues son , 2, 3 , 5,7,11,13,17,19,23...

MEREVA: correcto

Bueno ya son 2 puntos para Pablo y Emonna  y 1 punto para Femili y Lorena. Vamos haber si podrán seguir acertando, demomento  parece que tiene buena racha, lo veremos después de un pequeño descanso , mientras os dejó con una canción muy conocida actualmente entre los jóvenes y es lo malo de Aitana y ana guerra finalistas de operación triunfo....

(música entrando de Aitana y Ana guerra: lo malo …)

Bueno, después de este  pequeño descanso, sigamos, la siguiente pregunta es, "Goldbach dijó que todo número par mayor que 2 puede ecribirse como suma de dos números primos o que todo número impar mayor que 5 puede escribirse como suma de tres números primos o que todo número impar mayor que 7 puede escribirse como tres números primos impares así que  , decirme todo lo que sepáis sobre esta conjetura ...

(sonido del pulsador rojo para que puedan responder)

¡Pablo!

PABLO: Goldbach escribió una carta  a Leonard Euler , diciendo su conjetura, con el tiempo , otros matemáticos mostraron que la conjetura de Goldbach débil es cierta para todos los números impares suficientemente grandes pueden escribirse como suma de tres números primos , en resumen , muchos matemáticos intentaron demostrar que esta conjetura era cierta , de hecho lo que pasa es que los números son infinitos y ese es el problema por eso mismo no puede demostrarse 

MEREVA: ¡ vaya correcto ! madre mia ya vais ganando 3 -1 a vuestros rivales 
veamos haber si sabéis contestara la siguiente pregunta: ¿cuáles son los criterios de divisibilidad?
 (sonido del pulsador rojo para que puedan responder)
¡Lorena!
LORENA:

Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.

Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo de 4.

Un número es divisible por 5 cuando termian en 0 ó en 5.

Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez.

Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 7.

Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo de 8.

Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9.

Un número es divisible por 10 cuando termina en 0.

Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11.

Un número es divisible por 13 cuando separando la primer cifra de la derecha, multiplicándola por 9, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 13.

Un número es divisible por 17 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 5, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 17.

Un número es divisible por 19 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 17, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de19.

Un número es divisible por 25 cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 25.

Un número es divisible por 125 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 125.

mero es divisible por 2 cuando es par o termina en 0, 2, 4, 6, ó 8.L

 MEREVA: así es correcto , un punto más para el equipo 1, 
Vamos haber  si sabéis contestar a esta pregunta: ¿como podemos hallar la letra del DNI? 
(ruido del pulsador rojo para poder responder) ¡Emonna¡cuentanos
EMONNA:la letra del DNI está relacionada con el resto de la división entera  por cualquier número. Y los grafos de divisibilidad  no solo nos dicen si un número es divisible por otro número sino también nos da el resto de la división entera.
MEREVA: ¡very good! ¿ Pero Puedes explicar como se hace un grafo de divisibilidad? 
EMONNA:creo que si, pues haber, te lo voy a explicar con el 23. Los restos de la división entera por 23, son los números enteros desde el cero hasta el 22. Dibujamos 23 vértices numerados sucesivamente del 0 al 22 y una flecha negra que va de un número al siguiente. Ahora nos falta dibujar las flechas rojas, sale una de cada vértice, pero ¿hacia que vertirce? El número del vértice lo multiplicamos por 10 y el resultado lo dividimos entre 23, la flecha apuntará al vertirce cuyo número es el resto de la división entera que acabamos de hacer.