AMISTAD MATEMÁTICA

AMISTAD MATEMÁTICA

Érase una vez un fraile italiano de baja estatura y cuerpo robusto, que descansaba en su cama mientras pensaba en la maravillosa Summa de arithmetica, geometría, proportioni et proportionalita que había publicado hace unos días en Venecia, cuando de repente se le ocurrió una nueva aventura, viajar al rededor del mundo para difundir sus conocimientos, y el primer lugar que se le ocurrió fue Milán, por lo que se puso manos a la obra.
Una tarde del mes de abril llegó Luca Pacioli a Milán para ejercer la profesión de profesor de matemáticas allí, a lo que se encontró con Leonardo da Vinci, un antiguo compañero del colegio, con el cual estuvo muy unido desde su llegada e incluso le hizo un hueco en su nuevo libro, De Divina Proportione.
En su estancia allí, vivieron grandes momentos juntos, desde locas aventuras hasta grandes aprendizajes y descubrimientos matemáticos, pero una mañana fueron informados de que debían huir de allí inmediatamente, y así lo hicieron, porque eran los protegidos del duque Ludovico Sforza, a quien mataron las tropas francesas al entrar en Milán cuando Sforza trataba de recuperar su cuidad.
Estos dos matemáticos se dirigían a Venecia desde donde viajarían a Florencia, se instalaron en el mismo piso y siguieron trabajando juntos, pero antes de llegar a Venecia disfrutaron de la hospitalidad de Isabella  d' Este, que era marquesa de Mantua, diplomática y una figura importante en Europa de esa época. Durante unos meses , Leonardo y Luca dedicaron la mayor parte de su tiempo a jugar al ajedrez con la marquesa, juego en el que ella era muy entusiasta, incluso le dedicaron el libro de Ludo Scacchorum, escrito por Luca e ilustrado por Leo, pero la relación entre ambos había comenzado unos años atrás, cuando Leonardo pidió al duque Sforza que llevará a Pacioli a Milán, para aprender matemáticas con él, que entonces, Luca Pacioli tenía una fama muy sólida como profesor de matemáticas, en todos sus trabajos, él se inspiraba en verdaderos genios del mundo de las matemáticas.
Un día fue acusado injustamente de plagio por Piego de la Francesca, ya que Luca nunca tuvo mucha originalidad, y que sus escritos tenían un objetivo didáctico por lo que es reconocido como el gran difusor del método de doble entrada en contabilidad, la proporción dorada, y otros avances en logaritmos, geometría, trigonometría...
Continuó con sus estudios de matemáticas, mejoraban su labor tutorial y también en el arte de lo negocios gracias a las enseñanzas de Rompiasi.
Unos años después Pacioli se dedicó a la docencia en diferentes universidades.
Tras triunfar, los frailes autóctonos le cogieron una cierta envidia hasta el punto de que le prohibieron enseñar y encontró un gran estudiante y un amigo para toda la vida.

Teano de Crotona

Téano, nacida en Crotona, Italia en el siglo VI a. C., fue una matemática, filósofa griega, esposa de Pitágoras y miembro de la escuela pitagórica. Hija de Milón, mecenas de Pitágoras. Se le atribuye haber escrito tratados de matemáticas, física y medicina, y también sobre la proporción áurea. La mayor parte de los textos de Teano, resultaban más interesantes a los religiosos que los han conservado, hablaban de problemas morales o prácticos. A Téano se le atribuye un tratado Sobre la Piedad del que se conserva un fragmento con una disquisición sobre el número. Además se le atribuyen los tratados sobre los poliedros rectangulares y sobre la teoría de la proporción, en particular sobre la proporción áurea.

GUIÓN DE RADIO

SINTONÍA
PRESENTACIÓN
-Ainoa: Buenos días , me llamo Ainoa soy alumna de cuarto de la ESO.
En el programa de hoy vamos ha imaginar que estamos en el futuro y que somos ciudadanos europeos trilingües. Conectaremos con el centro francés Lycée Internacional Montebello e intercambiaremos conceptos de matemáticas en español y en francés. Cada alumno se expresara en su idioma materno y no habrá ningún problema de comprensión.
Pero antes de ello , vamos ha corregir los errores del programa anterior.
CANCIÓN
-Pablo : Buenos días me llamo Pablo y también soy alumno de 4 de la ESO, como ya ha dicho mi compañera, contaremos los errores del programa anterior. Encontramos tres errores:
El primero, es cuando dijimos que un numero es divisible por 19 cuando separando la primera cifra de la derecha,multiplicándola por 17, restando este producto de lo que le queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 19. ¡Y esto es incorrecto!
Hay que multiplicar la primera cifra por 2, no por 17 y hay que sumar este producto de lo que le queda a la izquierda y así sucesivamente da 19.
Ainoa: ¡Muy bien! ¿Nos puedes contar el segundo?
Pablo: El segundo error que dijimos es que un numero es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras da lugar a numero impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras da lugar a numero par, de derecha a izquierda es cero o múltiplo de 11. ¡Y esto es incorrecto! expliquémoslo con un ejemplo:
Utilizaremos el 528 que se sumarían el 5 y el 8 y se restarían con el 2 que es el del medio y nos daría 11. ¿Puedes contarnos Ainoa el ultimo error?
Ainoa: Si, pues el ultimo error es que mi compañera Lorena dijo que los divisores encontrados hasta ahora eran 1,2,4,28 y 56, sin embargo, no menciona el 112.
Y ahora os dejamos con una canción para seguir con el programa de hoy.
CANCIÓN.

PARTE DEL GUIÓN DE MEREVA, NURIA Y FEMILI

-Pablo: Hola de nuevo, conectaremos con otra compañera francesa de Montebello
-Emonna: hola
-Pablo: estos últimos días nuestro profesor de matemáticas ha estado dándonos lo que es el número Fi, ¿tu sabes lo que es?
-Emonna: si por supuesto  hace poco tuvimos un examen y nos entró este temario.
-Pablo: y ¿donde lo podemos encontrar?
-Emonna: Fi es la diagonal de un pentágono regular de lado 1, vamos haber la demostración de ello
Pablo: vaya, muy bien, ¡qué nivel!
-Emonna: y¿ tu sabes lo que es una diagonal y un polígono?
-Pablo: mm  una diagonal es un segmento formado por dos vértices  no consecutivo y un polígono significa muchos ángulos, debido a que "poli" tiene como significado mucho y "gono" significa ángulos.
-Emonna: ¿sabes cuantas diagonales tienes cualquier polígono?
-Pablo: claro, un cuadrilátero por ejemplo solo tiene 2, un triangulo  en este no tiene diagonales, y un pentágono tiene 5 diagonales. Lo que estoy haciendo es agrupar vértices  a lo que no lleva al concepto de "agrupamiento".
-Emonna: está muy bien tu respuesta, pero y si fuera un polígono con muchas diagonales, ¿sabes alguna fórmula para no contar  las diagonal una por una de cualquier polígono?
-Pablo: la verdad es que no lo sé, ¿puedes contarme sobre el tema?
-Emonna: por supuesto, pero antes de llegar a la fórmula, tengo que explicar algunos pasos importantes, cuando queramos agrupar vértices debemos hacernos 2 preguntas esenciales :
      ¿Importa el orden?
      ¿Se puede repetir?
Son preguntas clave que nos debemos hacer en problemas de combinación y al hacernos estas preguntas nos salen unos tipos:
Cuando no importa el orden  es  lo que denominamos combinación.
Cuando no se pueden repetir es lo que denominamos sin repetición  pero en el caso de que se pueda repetir serán combinaciones con repetición a lo que denominamos variaciones.
-Por lo tanto ya tenemos la fórmula para averiguar las diagonales de cualquier polígono. En la fórmula N= número de diagonales, n= número de vértices, y C sub n y elevado a dos es el número de combinaciones sin repetición de número de elementos tomados de los otros.

pero para poder hacer esta fórmula hay que averiguar  lo que el Csub n elevado a la 2 y para ello hay una fórmula muy simple

Pero hay una fórmula general para cualquiera

Ejemplos :

-Pablo: madre mía pues he aprendido algo nuevo, ¡gracias!
-Emonna: de nada
-pablo: adiós
-Emonna: adiós
-pablo: acabamos de cortar la conexión con el instituto Montebello.
Ahora os dejamos  con una canción.
CANCIÓN

Algoritmo de Euclides

El algoritmo de Euclides es un método antiguo y eficiente para calcular el máximo común divisor (MCD). Fue originalmente descrito por Euclides en su obra Elementos. El algoritmo de Euclides extendido es una ligera modificación que permite además expresar al máximo común divisor como una combinación lineal. Este algoritmo tiene aplicaciones en diversas áreas como álgebra, teoría de números y ciencias de la computación, entre otras. Con unas ligeras modificaciones suele ser utilizado en computadoras electrónicas debido a su gran eficiencia.

Segmentos conmesurables

En matemática, la conmensurabilidad es la característica de dos númerosconmensurables. Dos números reales, (a y b) que no sean cero, son conmensurables sólo cuando la razón (a/b) es un número racional. Si la razón de a/b es irracional, entonces se dice que es inconmensurable.

ERRORES DEL GUIÓN DE RADIO

ERRORES DEL GUIÓN
Cuando  Lorena habla de los criterios de divisibilidad dice que
1°_ Un número es divisible por 19 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 17, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de19.
*hay que multiplicar la primera cifra por 2 no por 17, y sumando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da 19

2°_ y cuando dice:
Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11.
*corrección con un ejemplo:
528: se suman el 5 y el 8 y se resta con el 2 que es el del medio y nos da 11

3°_ En el minuto 6:41 Lorena dice que los divisores encontrados hasta ahora son 1, 2, 4, 28 y 56, sin embargo, no menciona el 112, que tambié lo es como ha demostrado Femili anteriormente.

Congruencias en Z módulo m

¿Qué son las congruencias en Z + Módulo M ?

Definición de congruencia

Dado m ∈ Z , m> 1, se dice que a, b ∈ Z son congruentes módulo msi y sólo si m|(a-b). Se denota esta relación como a ≡ b (mod m). mes el módulo de la congruencia.

Es importante darse cuenta de que si m divide a a-b, esto supone que ambos a y b tienen el mismo resto al ser divididos por el módulom.

Ejemplos: 23≡2 mod 7 (porque 23=3.7 + 2), y -6≡1 mod 7 (porque -6= -7.1 +1)

La relación de congruencia como equivalencia. El conjunto de residuos.

La relación de congruencia módulo m es una relación de equivalencia para todo m ∈ Z. Es decir, cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Como en toda relación de equivalencia, podemos definir el conjunto cociente de las clases de equivalencia originadas por la relación de congruencia. En este caso la relación clasifica a cualquier entero a según el resto obtenido al dividirlo por el módulo m.

Llamaremos Zm al conjunto cociente de Z respecto de la relación de congruencia módulo m. A la clase de equivalencia de un elemento a ∈Z se la denota por [a]m o simplemente [a].

Para todo a∈Z se tiene que [a] = [r] en Zm, donde r es el resto de dividir a entre m.Por lo tanto, el conjunto Zm es finito y tiene melementos: Zm = { [0]m, [1]m, ... , [m-1]m}, donde la clase [i]mrepresenta al conjunto de todos los enteros que son congruentes coni mod m. A este conjunto cociente se le conoce como el conjunto de restos o residuos (módulo m)

Ejemplo: siguiendo con el ejemplo anterior, está claro que en Z7, el número entero 9, el 16 y el 23 pertenecen todos a la clase [2], y que el entero -6, el 1 y el 8 pertenecen a la clase [1]

Compatibilidad de la relación de congruencia con la suma y el producto

Sean m ∈ N y a, b, c, d ∈ Z tales que a ≡ b (mod m) y c ≡ d (modm). Entonces se cumple que:

   i) a + c ≡ b + d (mod m)

   ii) a . c ≡ b . d (mod m)

Consecuentemente, el resto de la suma es congruente con la suma de restos, y el resto del producto es congruente con el producto de restos. Además podremos sumar y multiplicar clases de equivalencia (residuos) porque es indiferente el representante que se elija de cada clase a la hora de operar: el resultante de la operación siempre será un representante de la misma clase resultado.